Правила контроля эпюр

Ранее, здесь мы получили формулы (2),(4) зависимости поперечной силы Q от распределенной нагрузки q и изгибающего момента M от поперечной силы Q. Из этих дифференциальных зависимостей следуют:

Правила контроля эпюр Q и M - для грузовых участков.

Эти правила (закономерности) выполняются в пределах каждого грузового участка (но не на границах).

Из ф.(2) следует:
- если на участке q=0, то Q - постоянная величина (константа). - если на участке q=Const, то Q линейно зависит от продольной координаты (z), т е эпюра Q на этом участке - наклонная прямая. Более того, если q > 0 (т е направлена вверх), то поперечная нагрука возрастает (увеличивается при изменении z слева - направо). - если на участке q изменяется по линейному закону, то Q - по квадратичному (парабола).
Аналогичные выводы следуют из ф.(4):
- если на участке Q=0, то M - постоянная величина (константа).
- если на участке Q=Const, то M линейно зависит от продольной координаты (z), т е эпюра M на этом участке - наклонная прямая. Более того, если Q > 0 (т е направлена вверх), то M возрастает (увеличивается в алгебраическом смысле, т е с учетом знака +- при изменении z слева - направо). При этом у МЕХАНИКОВ эпюра имеет "положительный" наклон (как / ), а у СТРОИТЕЛЕЙ - "отрицательный" (как \ )
- если на участке Q изменяется по линейному закону, то M - по квадратичному (парабола).
Для определения направления выпуклости этой параболы СТРОИТЕЛИ пользуются правилом ветра и паруса: если вообразить, что ветер дует в направлении q, то выпуклость паруса совпадает с выпуклостью эпюры M. Все связанное с эпюрой М у МЕХАНИКОВ наоборот (механики откладывают значения на эпюре М на сжатой стороне изогнутого бруса, строители - наоборот, на растянутой. Правило знаков +- М для балки совпадают, но графики - эпюры М строятся наоборот (зеркально отражая относительно продольной оси).
Если наклонная эпюра Q пересекает ось z, то в этом сечении M экстремально (т к 1-я производная = 0). Для определения координаты экстремума М см нижнюю часть рис 6.

Правила контроля (продолжение):

Площадь эпюры q на участке, определяемая по расчетной схеме, равна приращению Q на этом же участке.

Площадь эпюры Q на участке, определяемая по эпюре Q, равна приращению M на этом участке.

Более того, можно определить и знак приращения: если q положительна, т е направлена вверх, то Q возрастает (значение на правом краю больше, чем на левом (например: 2 больше чем -6)). Для отрицательного q, естественно, наоборот.

Если площадь эпюры Q положительна, то значение M на правом краю участка алгебраически больше, чем на левом (например: 2 больше чем -6)

Формулы (22), (23) на рис 11 - это следствие из формул (2),(4) главы "Деформации, внутренние силы, внутренние силовые факторы. Эпюры ВСФ".

По формулам (22), (23) можно легко вычислять приращение значений Q и M (соответственно) на каждом грузовом участке.

Правила контроля эпюр Q и M - для границ грузовых участков

Отсечем двумя бесконечно близкими сечениями C₁ и C₂ (см рис 12.1) границу между участками, где приложена сила P. Рассматривая уравнение равновесия отсеченного слоя (сумму проекций всех приложенных извне сил на ось Y - рис 12.1) найдем, что разность между значениями Q по обе стороны границы (т е скачек на эпюре Q в сечении, соответствующем этой границе) равна P.
Более того, если просматривать эпюру Q всегда слева-направо, можно заметить, что НАПРАВЛЕНИЕ скачка совпадает с направлением силы P.
Рассматривая уравнение равновесия отсеченного слоя (сумму моментов всех приложенных извне сил относительно точки C₂ - центра тяжести правого сечения - рис 12.2) найдем, что разность между значениями m по обе стороны границы (т е скачек на эпюре m в сечении, соответствующем этой границе) равна M.
Более того, если просматривать эпюру M всегда слева-направо, можно заметить, что НАПРАВЛЕНИЕ скачка совпадает с направлением внешней пары M - для механиков, а для строителей - противоположно.

Примечание: в этом учебнике внутренний силовой фактор - изгибающий момент - обозначается m - чтобы отличать его от пар сил M, приложенных извне в качестве внешней нагрузки. Однако иногда бывают очепятки.

Вышеизложенные правила позволяют строить эпюры Q и M для балок без вычислений, изложеных в Примере

Пример: построение эпюр Q и M для балки (рис 4 и 6) на основе правил контроля

Откройте рис 6 в отдельном окне, отрегулируйте размеры окна и удерживайте его на экране одновременно с этим описанием, чтобы видеть эпюры. Считаем, что опорные реакции уже определены и грузовые участки размечены.
Строим эпюру Q. Для этого двигаемя вдоль оси z балки слева-направо по расчетной схеме.

На левой границе 1-го участка приложена (вниз) сила Y_A = 36,67 кН, поэтому делаем скачек (вниз) на 36,67 (ОТ НУЛЯ. начинаем с нуля - можно думать, что есть ненагруженный хвостик балки слева от опоры А, где M=0, Q=0).

Теперь находимся в пределах 1-го участка. Распределенная нагрузка на нем равна нулю, поэтому Q - постоянна и равна -36,67 кН на всем участке.

Теперь пересекаем границу со 2-м участком. На этой границе нет сосредоточенных сил, поэтому нет скачка.

Движемся по 2-му участку. Здесь приложена постоянная распределенная нагрузка q= 20 кН/м (вверх), поэтому здесь эпюра Q - наклонная прямая (возрастание слева-направо). Приращение Q по формуле (22) = площади = 20кН/м*3м = 60кН. То есть на правой границе 2-го участка Q = -36,67 + 60 = 23,34кН.

Пересекаем границу с 3-м участком. Здесь тоже нет состредоточенной силы, поэтому нет и скачка.

Движемся по 3-му участку. На участке q=0, поэтому Q постоянна, т е равна значению, которое было на левой границе, т е 23,33 кН.

Пересекаем правую границу 3-го участка. Здесь приложена (вниз) сила Y_B = 23,33 кН (реакция правой опоры). Поэтому эпюра Q делает скачек вниз (и приходит к нулевому значению. Это обязательно - для проверки).
Строим эпюру M. Для этого двигаемя вдоль оси z балки слева-направо по расчетной схеме.

На левой границе 1-го участка пара сил (внешняя нагрузка) не приложена, поэтому эпюра M на 1-м участке начинается от нуля - можно думать, что есть ненагруженный хвостик балки слева от опоры А, где M=0, Q=0)

Теперь мы находимся в пределах 1-го участка. На нем Q - постоянна и равна -36,67 кН, поэтому эпюра M - Наклонная прямая на всем участке. Приращение M на участке вычислим как площадь прямоугольника на эпюре Q = -36,67*2= -73,34 кНм. Механики откладывают на эпюре M -73,34 - вниз, строители - вверх.

Теперь пересекаем границу 2-го участка. Здесь нет приложена пара сил M=80 кНм, поэтому скачок = 80 кНм. "Направление" скачка (то есть его рисунок-зигзаг) для механиков совпадает с рисунком пары M. Для строителей - наоборот. Возможно, проще рассуждать о приращении +80 (это для всех) и откладывать соответственно (у механиков - вверх, у строителей - вниз).

Движемся по 2-му участку. Здесь приложена постоянная распределенная нагрузка q= 20 кН/м (вверх), поэтому здесь эпюра M - парабола. Эпюра Q пересекает ось z на расстоянии 36,67/20 = 1,83 м. Чтобы найти экстремальное значеине M, найдем вначале приращение момента от левой границы 2-го участка до точки эккстремума. Это - пдощадь треугольника на эпюре Q = 36,57*1,83/2=33,55. Приращение отрицательно, так как Q здесь отрицательно.
M_экстр = 6,67 - 33,55 = -26,9 кНм. Значение M на правой границе = -26,9 + 23,33*1,17/2= -13,3 кНм. .

Пересекаем границу с 3-м участком. Здесь тоже - пара сил M = 80, направленная противоположно предыдущей. Соответственно, скачек будет противоположный, поэтому в начале 3-го участка M = -93,35 кНм. Движемся по 3-му участку. На участке Q=+23,33 кН - постоянна, поэтому эпюра M - наклонная прямая, M возрастает (алгебраически) слева-направо. Приращение M на участке равно площади соответствующего прямоугольника на эпюре Q и равно = +23,33*4 = 93,3. Поэтому значение M на правой границе 3-го участка = -93,3 + 93,3 = 0.

Пересекаем правую границу 3-го участка. Здесь не приложена пара сил. Поэтому если далее есть ненагруженный хвостик балки, то на нем M=0 (Это всегда должно соблюдаться, как проверка)