Строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

---

1. Если нужно получить формулы зависимости Q,M от координаты сечения, посмотрите этот пример
2. Здесь описан более короткий способ.

• Рассмотрим двухопорную балку (рис 1), для которой реакции опор вычислены ранее. (Как вычислять реакции опор - пример см здесь   или здесь, а теорию - здесь)
• Для вычисления Q,M применяют метод сечений. Например, рассечем мысленно балку на расстоянии 4м от опоры А, правее М1. Далее можно выбрать: какую из частей рассматривать: левую или правую. Обычно рассматривают ту часть, где меньше нагрузок, т е левую часть (рис 2 ). Правая часть рассмотрена здесь. Точка С на рис 2 - центр тяжести сечения.
  Поперечную силу Q в этом сечении вычисляют суммируя ВСЕ приложенные нагрузки (в том числе опорные реакции). При этом силы, направленные вверх, добавляются с плюсом, направленные вниз - с минусом. То есть Q = -V_A - F₁= -1 - 5 = -6кН. Подробнее:
  Q = ΣY = -V_A - F₁, то есть: поперечная сила Q = сумме проекций всех сил на ось Y.
  Изгибающие моменты вычисляют суммируя моменты от ВСЕХ приложенных нагрузок относительно точки С, причём моменты, деформирующие балку выпуклостью вниз ("улыбка"), т е действующие по часовой стрелке относительно т. С добавляются с плюсом, а противоположные - с минусом (рис 3). Момент от каждой сосредоточенной силы равен произведению этой силы на плечо.
  Плечо - расстояние от точки С до линии действия силы. Момент от пары сил равен величине пары (с учётом знака + -) То есть
  M = -V_A*(b+b) - F₁*b + M₁ = -1*(2+2) -5*2 + 4 = -10кНм. Подробнее:
  M = Σm_C = -V_A*(b+b) - F₁*b + M₁, то есть:
  Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил относительно точки С.
  Но как учитывать распределённую нагрузку ? Её заменяют равнодействующей силой. Величина этой силы равна произведению R = q*s, где s - длина части балки, на которой приложена распределённая нагрузка q. Направлена R в ту же сторону, как и q. Приложена R посередине части балки, на которой приложена q.
  Найдём, например, Q и M в сечении с координатой z = 8м от левого края балки (рис 4)
  Q = -V_A - F₁ - R₁ = -1 - 5 - 12 = -18кН
  где R₁ = q₁ * c = 3 * 4 = 12кН.
  M = -V_A*(2b+c) - F₁*(b+c) + M₁ - R₁*2 =
  = -1*8 - 5*6 + 4 - 12*2 = -58кНм
  
  Для построения эпюр придётся вычислять В.С.Ф. (внутренние силовые факторы, т е Q и M) в 22 сечениях (рис 5). Это связано с тем, что значения Q в бесконечно близких сечениях, расположенных по разные стороны от сосредоточенных сил ( F₁, F₂ ) отличаются (на величину этих сил), т е эпюра имеет разрывы (т наз скачки). Аналогично, скачки на эпюре M возникают в сечениях, где приложены пары сил ( M₁, M₂ ) и равны их величине. Эти скачки видны на эпюрах (см ниже: рис и рис )
• Вычислим Q,M для сечений 1 - 11, рассматривая левую часть балки. (Правая часть рассмотрена здесь.)
  
  
  • Сечение 1 - справа от опоры А (рис 6).
    Q = ΣY = -V_A = -1кН
    M = Σm_C = -V_A * 0 = 0
    
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 2 - бесконечно близко к F₁, слева от F₁ (координата z₂ = b = 2) (рис 7)
    Q = ΣY = -V_A = -1кН
    M = Σm_C = -V_A * b = -1*2 = -2кНм
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 3 - бесконечно близко к F₁, справа от F₁ (координата z₃ = b = 2) (рис 8)
    Q = ΣY = -V_A - F₁ = - 1 - 5 = - 6кН
    M = Σm_C = -V_A * b = -1*2 = -2кНм
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 4 - бесконечно близко к M₁, слева от M₁ (координата z₄ = 2b = 4) (рис 9)
    (Бесконечно малые расстояния на рисунках 9 - 20 не показываю)
    Q = ΣY = -V_A - F₁ = - 1 - 5 = - 6кН
    M = Σm_C = -V_A * 2b - F₁*b = -1*4 - 5*2 = -14кНм
    
    
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 5 - бесконечно близко к M₁, справа от M₁ (координата z₅ = 2b = 4) (рис 10)
    Это сечение уже рассматривалось ранее. Здесь - повтор.
    Q = ΣY = -V_A - F₁ = - 1 - 5 = - 6кН
    M = Σm_C = -V_A * 2b - F₁*b + M₁ = -1*4 - 5*2 + 4= -10кНм
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 6 - (координата z₆ = 2b + c = 4 + 4 = 8 ) (рис 11)
    
    Это сечение уже рассматривалось ранее. Здесь - повтор.
    
    Распределённую нагрузку q₁ заменяю равнодействующей
    R₁ = q₁ * c = 3 * 4 = 12кН. Далее:
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ = - 1 - 5 - 12 = - 18кН
    M = Σm_C = -V_A * (2b+c) - F₁*(b+c) + M₁ - R₁*2 = -1*8 - 5*6 + 4 - 12*2 = -58кНм
    
    
    
  • Сечение 7 - (см. рис 5, координата z₇ = 2b + c + a = 4 + 4 + 1 = 9 ) находится бесконечно близко к паре M₂, слева от неё.
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ = - 1 - 5 - 12 = - 18кН
    M = Σm_C = -V_A * (2b+c+a) - F₁*(b+c+a) + M₁ - R₁*(2+a) = -1*9 - 5*7 + 4 - 12*3 = -76кНм
    
    
  • Сечение 8 - (см. рис 5, координата z₈ = 2b + c + a = 4 + 4 + 1 = 9 ) находится бесконечно близко к паре M₂, справа от неё.
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ = - 1 - 5 - 12 = - 18кН
    M = Σm_C = -V_A * (2b+c+a) - F₁*(b+c+a) + M₁ - R₁*(2+a) - M₂= -1*9 - 5*7 + 4 - 12*3 - 12 = -88кНм
    
    
  • Сечение 9 - (см. рис 5, координата z₉ = 2b + c + 2a = 4 + 4 + 2 = 10 ) находится бесконечно близко к силе F₂, слева от неё.
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ = - 1 - 5 - 12 = - 18кН
    M = Σm_C = -V_A * (2b+c+2a) - F₁*(b+c+2a) + M₁ - R₁*(2+2a) - M₂= -1*10 - 5*8 + 4 - 12*4 - 12 = -106кНм
    
    
  • Сечение 10 - (см. рис 5, координата z₁₀ = 2b + c + 2a = 4 + 4 + 2 = 10 ) находится бесконечно близко к силе F₂, справа от неё.
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ + F₂ = - 1 - 5 - 12 + 10 = - 8кН
    M = Σm_C = -V_A * (2b+c+2a) - F₁*(b+c+2a) + M₁ - R₁*(2+2a) - M₂= -1*10 - 5*8 + 4 - 12*4 - 12 = -106кНм
    
    
  • Сечение 11 - (см. рис 5, координата z₁₁ = 3b + c + 2a = 6 + 4 + 2 = 12 )
    Q = ΣY = -V_A - F₁ - R₁ + F₂ + R₂ = - 1 - 5 - 12 + 10 + 8 = 0,
    где R₂ = q₂*b = 4кН/м*2м = 8кН. M = Σm_C = -V_A * (3b+c+2a) - F₁*(2b+c+2a) + M₁ - R₁*(2+2a+b) - M₂ + F₂*b + R₂*b/2 = -1*12 - 5*10 + 4 - 12*6 - 12 + 10*2 + 8*1 = -114кНм
    
    

  Правая часть

  • Вычислим Q,M в сечении 11 рассматривая правую (от этого сечения) часть балки (рис 12) (координата z₁₁ = 3b + c + 3a = 6 + 4 + 3 = 13 - отсчитываем от правого края балки)
    Правила знаков для правого края:
    При вычислении Q с плюсом добавляют нагрузки, направленные вниз, а с минусом - направленные вверх. При этом ось Y, на которую проецируют нагрузки направлена вниз.
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ - F₂ - R₄ = 1 + 5 + 12 - 10 - 8 = 0,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН,
    R₄ = q₂*b = 4кН/м*2м = 8кН.
    При вычислении M правило "улыбки" сохраняется, т е моменты, деформирующие балку выпуклостью вниз, добавляются с плюсом, а противоположные - с минусом. Однако для правой части это моменты, действующие против часовой стрелки относительно т. С.
    M = Σm_C = -V_B * (3b+c+3a) - F₁*(2b+c+3a) + M₁ - R₃*(2+3a+b) - M₂ + F₂*(a+b) + R₄*(b/2+a) = -1*13 - 5*11 + 4 - 12*7 - 12 + 10*3 + 8*2 = -114кНм
    На этом примере убедились, что значения Q и M не зависят от того: левую или правую часть балки рассматривать.
    
    
  • Сечение 12 - (см. рис 13, координата z₁₂ = 3b + 2a + c = 12 - отсчитываем от правого края балки)
    
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ - F₂ - R₄ = 1 + 5 + 12 - 10 - 8 = 0,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    R₄ = q₂*b = 4кН/м*2м = 8кН.
    M = Σm_C = -V_B * (3b+c+2a) - F₁*(2b+c+2a) + M₁ - R₃*(2+2a+b) - M₂ + F₂*b + R₄*(b/2) = -1*12 - 5*10 + 4 - 12*6 - 12 + 10*2 + 8*1 = -114кНм
    
    
    
    
  • Сечение 13 - (см. рис 14, координата z₁₃ = 2b + 2a + c = 10 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии левее F₂
    
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ - F₂ = 1 + 5 + 12 - 10 = 8кН,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    M = Σm_C = -V_B * (3b+c+2a) - F₁*(2b+c+2a) + M₁ - R₃*(2+2a+b) - M₂ + F₂*b + R₄*(b/2) = -1*10 - 5*8 + 4 - 12*4 - 12 = - 106 кНм
    
    
    
    
    
    
  • Сечение 14 - (см. рис 5, координата z₁₄ = 2b + 2a + c = 10 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии правее F₂
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ = 1 + 5 + 12 = 18кН ,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    M = Σm_C = -V_B * (2b+c+2a) - F₁*(b+c+2a) + M₁ - R₃*(2+2a) - M₂ = -1*10 - 5*8 + 4 - 12*4 - 12 = -106кНм
    
    
  • Сечение 15 - (см. рис 5, координата z₁₅ = 2b + a + c = 9.- отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии левее M₂
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ = 1 + 5 + 12 = 18кН ,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    M = Σm_C = -V_B * (2b+c+a) - F₁*(b+c+a) + M₁ - R₃*(2+a) - M₂ = -1*9 - 5*7 + 4 - 12*3 - 12 = -88кНм
    
    
  • Сечение 16 - (см. рис 5, координата z₁₆ = 2b + a + c = 9 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии правее M₂
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ = 1 + 5 + 12 = 18кН ,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    M = Σm_C = -V_B * (2b+c+a) - F₁*(b+c+a) + M₁ - R₃*(2+a) - M₂ = -1*9 - 5*7 + 4 - 12*3 = -76кНм
    
    
  • Сечение 17 - (см. рис 5, координата z₁₇ = 2b + c = 8 - отсчитываем от правого края балки)
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₃ = 1 + 5 + 12 = 18кН ,
    где R₃ = q₁*c = 3кН/м*4м = 12кН.
    M = Σm_C = -V_B * (2b+c) - F₁*(b+c) + M₁ - R₃*2 = -1*8 - 5*6 + 4 - 12*2 = -58кНм
    
    
  • Сечение 18 - (см. рис 5, координата z₁₈ = 2b = 4 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии левее M₁
    Q = ΣY = V_B + F₁ = 1 + 5 = 6кН ,
    M = Σm_C = -V_B *2b - F₁*b + M₁ = -1*4 - 5*2 + 4 = -10кНм
    
    
  • Сечение 19 - (см. рис 5, координата z₁₉ = 2b = 4 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии правее M₁
    Q = ΣY = V_B + F₁ = 1 + 5 = 6кН ,
    M = Σm_C = -V_B *2b - F₁*b = -1*4 - 5*2 = -14кНм
    
    
  • Сечение 20 - (см. рис 5, координата z₂₀ = b = 2 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии левее F₁
    Q = ΣY = V_B + F₁ = 1 + 5 = 6кН ,
    M = Σm_C = -V_B *b - F₁*0 = -1*2 - 5*0 = -2кНм (на эпюре М значение 2 незаметно)
    
    
  • Сечение 21 - (см. рис 5, координата z₂₁ = b = 2 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии правее F₁
    Q = ΣY = V_B = 1кН ,
    M = Σm_C = -V_B *b = -1*2 = -2кНм (на эпюре М значение 2 незаметно)
    
    
  • Сечение 22 - (см. рис 5, координата z₂₁ = 0 - отсчитываем от правого края балки) находится на бесконечно малом расстоянии левее V_B
    Q = ΣY = V_B = 1кН ,
    M = Σm_C = -V_B *0 = -1*0 = 0
    
    
  • Найдём Q и M в сечении, которое находится на расстоянии 5м левее опоры B (рис 15)
    Q = ΣY = V_B + F₁ + R₅ = 1 + 5 + 3 = 9кН,
    где R₅ = q₁*1 = 3*1 = 3 кН,
    M = Σm_C = -V_B * 5 - F₁*3 + M₁ - R₅*0,5 = -1*5 - 5*3 + 4 - 3*0,5 =
    -17,5 кНм

Эпюры построены программой Mke_Win2009.

Пример 2. Найти максимальный изгибающий момент (рис 19)

1. Найдём R₁ - равнодействующую распределённой нагрузки.
   R₁ = q * a = 5 кН/м * 4 м = 20 кН.
2. Найдём реакции опор: V_A и V_A:
   Σm_A = 0 = R₁ * 6 - V_B * 8 => V_B = R₁ * 6/8 = 20*6/8 = 15 кН.
   (Здесь моменты, действующие по часовой стрелке, считаются положительными).
   
   Σm_B = 0 = - R₁ * 2 + V_A * 8 => V_A = R₁ * 2/8 = 20*2/8 = 5 кН.
   
   
3. Проверка: ΣY = 0 = V_A + V_A - R₁ = 5 + 15 - 20 = 0 => реакции определены верно.
4. Вычисляю внутренние силовые факторы (В.С.Ф.) - Q и M.
   • в сечении, бесконечно близком к опоре А - справа от А:
     Q = ΣY = V_A = 5кН.
     M = Σm_C = V_A*0 = 0.
   • в сечении на расстоянии а=4м от опоры А, рассматривая левую от этого сечения часть балки:
     Q = ΣY = V_A = 5кН.
     M = Σm_C = V_A*a = 5*4 = 20 кНм.
   • в сечении, бесконечно близком к опоре B - слева от B:
     Q = ΣY₂ = V_B = -15кН.
     M = Σm_C = V_B*0 - q*0²/2 = 0.
   • строю эпюру Q (рис 20)
     
     В сечении, где эпюра Q пересекает ось балки, Q = 0, а так как Q = dM/dz, то в этом сечении M экстремально. Расстояния от этого сечения до краёв участка вычисляются по формуле:
     a₁ = Q₁/q и a₂ = Q₂/q. Здесь:
     a₁ - расстояние от левого края, Q₁ - значение Q на левом краю;
     a₂ - расстояние от правого края, Q₂ - значение Q на правом краю;
     Например, в этом случае:
     q = 5кН/м, Q₁ = 5 кН, a₁ = 5 кН / 5кН/м = 1 м;
     Q₂ = 15 кН, a₂ = 15 кН / 5кН/м = 3 м;
     
     
     
     
   • Вычисляю M в сечении, находящемся на 3м левее т. В, т е максимальный момент. (см рис 21)
     Q = ΣY = -V_B + R₂ = -15 + 15 = 0 (для проверки)
     M = Σm_C = V_B * 3 - R² * 1,5 = 15*3 - 15*1,5 = 22,5кНм.